UNITAT 1. FUNCIONS: CONTINUÏTAT, LÍMITS I ASÍMPTOTES.
En aquesta unitat anem a repassar els continguts vists a primer de batxillerat on definíem el concepte de funció, varem treballar i analitzar la continuïtat i tipus de discontinuïtats existents, i per últim la definició de límit i els tipus de límits que ens podem trobar.
1.1. Concepte de funció i continuïtat
Aquí us deixo uns exercicis per a estudiar la continuïtat i els tipus de discontinuïtat existents. Feu-los tots per al proper dia de classe, que vagi bé la MERCÉ!!!Exercicis Continuïtat
1.2. Concepte de límit. Càlcul de límits en un punt
Un límits el valor que pren una funció en un punt concret o el valor al qual s´aproxima la funció, si aquesta no existeix per a un punt concret.Quan calculem límits en un punt sols tenim que substituïr el valor donat per l´incògnita i obtindrem un altre valor, que serà el valor que pren la funció per al donat. Però, sempre no obtindrem un valor, de manera que poden existir diferents indeterminacios: k/0 o 0/0.
INDETERMINACIÓ K/0
INDETERMINACIÓ 0/0
Aquí teniu els exercicis dels límits que teniu que fer per al dimarts
Exercicis de límits
1.3. Càlcul de límits en l´infinit
En els límits quan x tendeix a infinit el resultat ve donat per la jerarquia d'infinits en les funcions polinòmiques, i pel grau del numerador i denominador en les funcions racionals. Quan es tracta d'una funció irracional podem obtenir una indeterminació ~-~. De manera que calcularem el conjugat per a tenir un resultat vàlid.
Exercicis de límits II
1.4. Indeterminació 1∞
Exercicis de límits III
FITXA REPÀS UNITAT 1
Aquí us deixe la fitxa de repàs de l´unitat 1, feu-la per al pròxim dimarts. Com hi ha bastants exercicis no crec que l´acabem de corregir en un sol dia, però la teniu que fer sencera per a dimarts.
Repàs Funcions i Límits
UNITAT 2. DERIVADESLes derivades ens ajuden a obtenir informació essencial quan treballem amb funcions, com: el pendent en un punt qualsevol de la funció, els intervals de creixement i decreixement, els punts màxims i mínims, ...
Com hem parlat les derivades tenen la seua utilitat a les funcions, d´aquesta manera podem calcular el pendent a qualsevol punt de la funció per mitjà de l´abscissa (el valor d´X), i amb el pendent i els valors (x, y) calcularem l´ordenada en l´orige. Tenint d´aquesta manera la recta tangent a la funció en qualsevol punt d´aquesta. O també podrem obtenir els punts on la funció presenta situacions característiques com un màxim o mínim,...
Seguint les indicacions de la taula de derivades aprendrem a derivar tot tipus de funcions, de manera que podam calcular les característiques de les funcions a estudiar en la pròxima unitat.
Per a funcions compostes, aquelles que tenen més d´una funció (2, 3, 4, ...) unes dintre d´altres, utilitzarem la regla de la cadena. Aquesta regla diu que tenim que derivar de la funció més petita fins a la més gran. Mireu aquest vídeo explicatiu que us ajudarà a l´hora de resoldre aquest tipus de derivades.
Amb la primera derivada podem traure el valor de la pendent en qualsevol lloc de la funció. Per tant, si nosaltres igualem a 0 la primera derivada podrem traure el valor o valors d´x que faran que la funció en eixe punt siga paral·lela a l´eix OX, és a dir, tinga una pendent igual a O. Per tant, aquest punt o punts seran punts on la funció canvie de creixer a decreixer, o de decreixer a creixer, sent aquests màxims o mínims.
Fitxa Repàs Unitat 2
Aquí us deixo la fitxa per al dimarts, intentaré que la podam corregir tota en una sola classe.
Exercicis repàs Unitat 2. Aplicacions de les derivades
Tot el aprés amb les derivades té una aplicació a la vida real, de manera que podem maximitzar o minimitzar una funció per tractar d´optimitzar aquesta i obtenir el resultat esperat sense tenir que representar la mateixa.
Problemes de superfícies
Problemes de Nombres
En aquesta unitat anem a treballar les normes d´integració i els diferents mètodes d´integració existents. El procés d´integració està lligat al de derivació, ja que a l´hora d´integrar partirem de la funció derivada i buscarem la funció íntegra o original. Una primitiva o integral indefinida és l´expressió analítica d´una funció que obtenim, a partir de la seva derivada, per mitjà de les regles d´integració. D´aquesta manera, i partint de la funció derivada obtindrem aplicant la regla o mètode corresponent una funció primitiva que tindrà infinites expressions.
L´utilitat de l´integració és la possibilitat de poder obtenir àrees, volums i longituts a partir d´un gràfic.
4.1. Primitives immediates.
Les integrals o primitives inmediates són aquelles que podem fer directament aplicant les regles d'integració de la taula d´integrals i que no necessiten ninguna transformació per a realitzar-les. A més en elles la variable és X i no té ninguna funció a l´hora d´integrarles.
4.2. Integrals, primitives, quasi immediates
Les integrals quasi immediates són com les immediates però en aquestes integrarem una funció, normalment, i tenen un major grau de dificultat, tenint que realitzar alguna petita transformació per a poder realitzar l'integral.
FITXA REPÀS UNITAT 1
Aquí us deixe la fitxa de repàs de l´unitat 1, feu-la per al pròxim dimarts. Com hi ha bastants exercicis no crec que l´acabem de corregir en un sol dia, però la teniu que fer sencera per a dimarts.
Repàs Funcions i Límits
UNITAT 2. DERIVADESLes derivades ens ajuden a obtenir informació essencial quan treballem amb funcions, com: el pendent en un punt qualsevol de la funció, els intervals de creixement i decreixement, els punts màxims i mínims, ...
2.1. Definició de derivada. Derivada d´una funció en un punt.
Com ja sabeu podem calcular qualsevol derivada com el límit quan h tendeix a 0, tenint d´aquesta manera la relació existent amb els límits que hem treballat a l´unitat anterior.
2.2. Interpretació geomètrica de les derivades
Com hem parlat les derivades tenen la seua utilitat a les funcions, d´aquesta manera podem calcular el pendent a qualsevol punt de la funció per mitjà de l´abscissa (el valor d´X), i amb el pendent i els valors (x, y) calcularem l´ordenada en l´orige. Tenint d´aquesta manera la recta tangent a la funció en qualsevol punt d´aquesta. O també podrem obtenir els punts on la funció presenta situacions característiques com un màxim o mínim,...
2.3. Funció Derivada
Seguint les indicacions de la taula de derivades aprendrem a derivar tot tipus de funcions, de manera que podam calcular les característiques de les funcions a estudiar en la pròxima unitat.
Per a funcions compostes, aquelles que tenen més d´una funció (2, 3, 4, ...) unes dintre d´altres, utilitzarem la regla de la cadena. Aquesta regla diu que tenim que derivar de la funció més petita fins a la més gran. Mireu aquest vídeo explicatiu que us ajudarà a l´hora de resoldre aquest tipus de derivades.
2.4. Intervals de Creixement i decreixement
Amb la primera derivada podem traure el valor de la pendent en qualsevol lloc de la funció. Per tant, si nosaltres igualem a 0 la primera derivada podrem traure el valor o valors d´x que faran que la funció en eixe punt siga paral·lela a l´eix OX, és a dir, tinga una pendent igual a O. Per tant, aquest punt o punts seran punts on la funció canvie de creixer a decreixer, o de decreixer a creixer, sent aquests màxims o mínims.
2.5. Concavitat i convexitat. Punts d´inflexió
Una vegada ya coneguem quins són els intervals de creixement i decreixement de la funció, serà interessant conèixer quina serà la forma d´aquesta. Per mitjà de l´igualació de la segona derivada a 0 trobarem els possibles punts d´inflexió (3º derivada diferent de 0), i on aquesta serà còncava o convexa.
Fitxa Repàs Unitat 2
Aquí us deixo la fitxa per al dimarts, intentaré que la podam corregir tota en una sola classe.
Exercicis repàs Unitat 2. Aplicacions de les derivades
UNITAT 3. REPRESENTACIÓ DE FUNCIONS I PROBLEMES D'OPTIMITZACIÓ
Tots els continguts treballats anteriorment ens serviran per a representar funcions polinòmiques, racionals, logarítmiques, ..., però a aquest curs ens centrarem en les funcions polinòmiques i racionals, que seran les que tindrem que representar a la selectivitat.
Representació Funcions
SOLUCIONS EXERCICI 15
Ja teniu el nou document de l´exercici 15 escanejat!!!
Exercici 15
FITXA REPÀS UNITAT 3. REPRESENTACIÓ DE FUNCIONS I OPTIMITZACIÓ (2015/16)
FITXA UNITAT 3 (2015/16)
SOLUCIONS EXERCICI 15
Ja teniu el nou document de l´exercici 15 escanejat!!!
Exercici 15
FITXA REPÀS UNITAT 3. REPRESENTACIÓ DE FUNCIONS I OPTIMITZACIÓ (2015/16)
FITXA UNITAT 3 (2015/16)
3.1. Funcions Polinòmiques i racionals
Quan representem aquestes tindrem que obtenir per a dibuixar-les: domini, simetries, punts de tall, branques infinites, creixement i decreixement, i concavitat i convexitat.
3.3. Optimització de funcions
Tot el aprés amb les derivades té una aplicació a la vida real, de manera que podem maximitzar o minimitzar una funció per tractar d´optimitzar aquesta i obtenir el resultat esperat sense tenir que representar la mateixa.
Problemes de superfícies
Problemes de Nombres
Problemes de volums
Problemes de Volums i Superfícies
UNITAT 4. PRIMITIVES i INTEGRALS
En aquesta unitat anem a treballar les normes d´integració i els diferents mètodes d´integració existents. El procés d´integració està lligat al de derivació, ja que a l´hora d´integrar partirem de la funció derivada i buscarem la funció íntegra o original. Una primitiva o integral indefinida és l´expressió analítica d´una funció que obtenim, a partir de la seva derivada, per mitjà de les regles d´integració. D´aquesta manera, i partint de la funció derivada obtindrem aplicant la regla o mètode corresponent una funció primitiva que tindrà infinites expressions.
L´utilitat de l´integració és la possibilitat de poder obtenir àrees, volums i longituts a partir d´un gràfic.
4.1. Primitives immediates.
Les integrals o primitives inmediates són aquelles que podem fer directament aplicant les regles d'integració de la taula d´integrals i que no necessiten ninguna transformació per a realitzar-les. A més en elles la variable és X i no té ninguna funció a l´hora d´integrarles.
4.2. Integrals, primitives, quasi immediates
Les integrals quasi immediates són com les immediates però en aquestes integrarem una funció, normalment, i tenen un major grau de dificultat, tenint que realitzar alguna petita transformació per a poder realitzar l'integral.
4.3. Mètodes d'integració.
Quan les integrals no les podem resoldre amb la taula d'integrals tenim que utilitzar qualsevol dels següents mètodes d'integració, segons la funció o funcions que tinguem que integrar. D'aquesta manera podem trobar:
4.3.1. Integrals per parts
4.3.2. Integrals per canvi de variable
4.3.4. Integrals racionals
4.4. La Integral definida. Regla de Barrow
Tot el vist fins ara ho utilitzarem per al càlcul d'àrees i volums que és l'utilitat principal del càlcul d'integrals, però per a poder calcular un àrea o volum corresponent primer tenim que aprendre a calcular una integral definida en un interval [a,b]. Açò ho farem per mitjà de la regla de Barrow, calculant la integral per a l'extrem superior i per a l'extrem inferior de l'interval i restant-los.
4.5. Càlcul d'àrees
Una vegada conegut el mètode de càlcul d'integrals en un interval ho apliquem al càlcul d'àrees entre una funció i l'eix OX, l'eix OY o entre dos funcions.
F(x) i eix OX
ENTRE DOS FUNCIONS
4.6. Volums de cossos de revolució
De la mateixa manera que hem calculat l'àrea entre una funció i l'eix OX podem calcular el volum donat de formar un cos entre la funció i un dels dos eixos al rotar la funció. Per a obtenir aquest tenim que calcular l'integral al quadrat de la funció en l'interval corresponent i multiplicar-ho pel nombre pi.
Eix OX
EIX OY
UNITAT 5. VECTORS A L'ESPAI
Aquesta Unitat és la primera de tres que formen el bloc Vectors i Matrius. En primer lloc, introduirem els vectors a l'espai fent una extensió al que ja vam treballar l'any passat amb dos dimensions. Una vegada repassats els vectors, introduirem les matrius que ens ajudaran a resoldre sistemes d'una manera més senzilla i ràpida.
5.1. PUNTS A L'ESPAI
Representar un punt a l'espai no és una feina fàcil, ja que sobre el paper tenim que representar les tres dimensions que té l'espai. Ja ho hem treballat a classe, però al següent video teniu un parell d'exemples de com podem representar punts i vectors a l'espai. Recordeu que per a diferenciar punts i vectors representem els punts amb lletres majúscules i els vectors amb minúscules.
5.2. COMPONENTS D'UN VECTOR I OPERACIONS
De la mateixa manera que s'obtenien els components d'un vector de dos dimensions podem obtenir els d'un vector en tres dimensions. Per a obtenir els components restarem les coordenades dels punts ente els quals està disposat el vector. Recordeu que el vector director és aquell que té inici en l'origen de coordenades i extrem en un punt qualsevol. Les operacions també s'obtenen igual que en les dos dimensions, però recordant que tindrem tres coordenades.
Sumar, restar y multiplicar un nombre per un vector són algunes de les operacions que podem realitzar amb els vectors, actuant de manera adequada sobre els components dels mateixos i formant nous vectors.
5.3. COMBINACIÓ LINEAL DE VECTORS. DEPENDÈNCIA I INDEPENDÈNCIA VECTORIAL.
Una combinació lineal de vectors ve donada per l'obtenció d'un o més vectors a partir de la combinació d'uns altres. Per tant a partir d'uns vectors qualsevols i per la seua combinació obtindrem un o uns altres vectors.
D'altra banda es troba la dependència i la independència lineal dels vectors. Si els vectors que estem estudiant no tenen ninguna relació entre ells i no són paral·lels podem dir que aquests seran linealment independents, en aquest cas el determinant de la matriu que formen és diferent de 0. Si per contra tenen alguna relació i el seu determinant és 0 són linealment dependents, el sistema que formen no té una sóla solució.
5.4. BASES GENERADORES A L'ESPAI VECTORIAL
El següent vídeo explica el mateix que hem estat treballant a classe amb bases generadores. Primer teniu que comprovar que els tres vectors són linealment independents i posteriorment formar un sistema d'equacions amb els tres vectors que són base i el vector que volem expresar com a combinació lineal dels anteriors. A més fa referència al rang de la matriu, açò encara no ho hem treballat, així que no feu cas. Al llarg de les següents classes explicaré el rang i altres continguts relacionats amb l'utilització de matrius.
5.5. PRODUCTE ESCALAR ENTRE DOS VECTORS DE L'ESPAI
Els següents vídeos mostren exemples de tipus d'exercicis relacionats amb el producte escalar. Recordeu que el producte escalar de dos vectors està estrétament relacionat amb el teorema del cosinus...
Aquests dos fan referència a les propietats.
Els següents fan referència a l'angle que formen dos vectors a l'espai
EXERCICIS UNITAT 4 I 5
UNITAT 6. MATRIUS I DETERMINANTS
6.1. MATRIUS
Les matrius són una eïna per a treballar amb vectors i equacions. Disposem els vectors i equacions en files i columnes. Cada element de la matriu ve definit per la posició que ocupa a la mateixa, siguent "i" el nombre de la fila i "j" el de la columna.
6.2. TIPUS DE MATRIUS
Hi ha diferents tipus de matrius: matriu fila, columna, nula, oposada, transposada, ...
6.3. MATRIUS QUADRADES
Les matrius quadrades són aquelles que tenen el mateix nombre de files i de columnes. Aquestes matrius es diu que són d'ordre igual al nombre de files i columnes que tenen. Per tant, si tenen 3 files i 3 columnes es diu que són d'ordre 3; si tenen 2 files i 2 columnes es diu que són d'ordre 2; ...
La matriu unitat és una matriu quadrada que té tots els elements iguals a 0 menys els nombres de la diagonal principal que són iguals a 1.
la matriu simètrica és aquella que té els elements a cada costat de la diagonal principal iguals.
6.4. OPERACIONS AMB MATRIUS
Suma de matrius. Sols podem sumar matrius amb un mateix ordre, ja que tenim que sumar els elements un a un amb el corresponent, en posició, de cada matriu.
El producte de matrius s'obté multiplicant fila per columna, cal que el nombre de columnes de la primera matriu amb el nombre de files de la segona. Sortirà una nova matriu de les mateixes files que la primera matriu i columnes que la segona matriu.
6.5. Determinants i adjunts
Els determinants d'ordre 2 i 3 els calculem per la regla de Sarrus, però quan es tracta d'un determinant d'ordre superior ho farem pels seus adjunts i menors complementaris.
6.6. Matriu inversa i equacions matricials
Per a calcular la matriu inversa seguim una sèrie de passes que ens duen a la mateixa. Aquesta inversa és necessària per a resoldre algunes equacions matricials.
FITXA UNITAT 6. VECTORS I MATRIUS
UNITAT 7. SISTEMES D'EQUACIONS
Seguint amb el que hem vist a les unitats anteriors utilitzarem les matrius per a resoldre i discutir sistemes d'equacions, que ens vindran donats o que tindrem que plantejar a partir d'un enunciat (PROBLEMES).
7.1. Rang d'una matriu
El rang d'una matriu determina el nombre de vectors linealment independents que formen part d'aquesta, o el que és el mateix el nombre d'equacions que no són combinació lineal d'altres i per tant determinarà el nombre de solucions d'un sistema d'equacions. El rang vindrà determinat per la matriu quadrada més gran que podem formar a la matriu original (A). El rang el podem calcular per mitjà de diferents mètodes, però nosaltres el calcularem per mitjà de determinants que és la manera més ràpida i fàcil que hi ha.
7.2. Sistemes d'equacions. Mètode de Gauss.
Fins ara sols havieu treballat amb sistemes amb dues incògnites i dues equacions que resolieu per mitjà de qualsevol dels tres mètodes estudiats a l'ESO. Ara els sistemes amb els que treballarem tenen tres incògnites i tres equacions, o més, per tant tenim que utilitzar un mètode nou que ens facilite la feina. Aquest mètode és el mètode de GAUSS, que transforma els sistemes en sistemes equivalents (tenen la mateixa solució) per mitjà de la transformació del sistema en un sistema escalonat.
Per a transformar el sistema inicial en un sistema escalonat tenim que seguir els següents passos:
1º Eliminar la incògnita X de la tercera equació
2º Elminar la incògnita X de la segona equació
3º Eliminar la incògnita Y de la tercera equació
Tot açò ho farem sumant, restant i multiplicant les equacions entre si fins arribar al sistema que busquem, on la tercera equació sols tindrà una incògnita; la segona equació 1 o 2 incògnites; i la tercera equació 2 o 3 incògnites.
Recordeu que els sistemes poden ser:
- SCD: una única solució
- SCI: Infinites solucions
- SI: no té solució
7.3. Teorema de Rouche-Frobenius
El teorema de Rouché ens permet estudiar la compatibilitat o incompatibilitat d'un sistema d'equacions segons el rang de la matriu i de la matriu ampliada. D'aquesta manera podem tenir:
- SCD: Rang M=Rang M'= n
- SCI: Rang M=Rang M' < n
- SI: Rang M<> Rang M'
7.4. Regla de Cramer
La regla de Cramer ens permet calcular els valors de les incògnites d'un sistema compatible per mitjà de determinants. D'aquesta manera amb el determinant de la matriu i de la matriu ampliada, substituïnt la columna dels termes independents per la de cada incògnita corresponent, obtindrem el valor de cada incògnita.
7.5. Sistemes Homogenis
Els sistemes homogenis són aquells que tenen tots els termes independents iguals a zero. Tots els sistemes homogenis són compatibles, ja que el Rang d´M serà igual al Rang d´M'. Sols quedarà per determinar si el sistema és un SCD, on hi ha una solució trivial x=y=z=0, o un SCI amb infinites solucions.
7.6. Discussió de sistemes d'equacions
Quan tenim un paràmetre o paràmetres en un sistema d'equacions tenim que obtenir quin o quins valors fan el sistema compatible o incompatible. Açò és el que anomenem discussió d'un sistema i la realitzarem per mitjà del rang de les matrius, que obtindrem a partir del determinant de la matriu i la matriu ampliada, buscant els valors del paràmetre que facen 0 el determant.
7.7. Problemes amb sistemes d'equacions
Quan tenim un enunciat en el que ens estan demanant el valor d'unes incògnites tenim que representar aquest enunciat en un sistema d'equacions, de manera que utilitzant qualsevol dels mètodes que coneguem obtingam els valors de les incògnites i la solució del problema.
Aquí vos deixe una part del dossier que utilitzarem en aquesta última unitat. Descarregueu-lo, el necessitarem per a fer els exercicis a classe.
DOSSIER UNITAT 8
8.1. EQUACIONS D'UNA RECTA
Amb un punt i el vector director de la recta podem traure les equacions d'aquesta en qualsevol dels 4 formats: vectorial, paramètrica, contínua i/o implícita o general
8.2. EQUACIONS DEL PLA
Per a trobar l'equació d'un pla necessitem:
- 3 punts, o
- 1 punt i dos vectors directors
Si ens fiquem en el cas en que tenim 3 punts (A, B i C), amb aquests podem obtenir el punt i els dos vectors directors, i així obtenir les equacions del pla, tant vectoria, com paramètriques com implícites
8.3. VECTOR ASSOCIAT AL PLA, PUNTS ALINEATS I PUNTS COPLANARIS
El vector associat al pla o vector normal (A,B,C) és perpendicular al pla i coincideix amb els paràmetres A,B i C de l'equació del pla. Per altra banda els punts alineats són aquells que perteneixen a la mateixa recta, cal sols substituir un punt en una recta per a saber si estan alineats o no; de la mateixa manera els punts coplanaris són aquells que perteneixen al mateix pla, i per a comprovar-ho hi ha que substituir el punt al pla i veure si l'identitat s'acompleix o no.
UNITAT 9. POSICIONS RELATIVES DE RECTES I PLANS
9.1. POSICIÓ RELATIVA DE DOS RECTES
Dues rectes poden ser paral·leles, secants, s'encreuen però no es tallen i/o coincidents.
9.2. POSICIÓ RELATIVA DE DOS PLANS
Els plans igual que les rectes poden ser coincidents, secants o paral·lels
9.3. POSICIÓ RELATIVA D'UN PLA I UNA RECTA
La recta pot estar continguda al pla, ser paral·lela al mateix o secant
UNITAT 10. ANGLES I DISTÀNCIES
10.1. ANGLES
Angle entre dos plans a l'espai
Angle entre una recta i un pla
10.2. DISTÀNCIES
Distància entre dos punts
Distància entre un punt i una recta
Distància d'un punt a un pla
L'autor ha eliminat aquest comentari.
ResponEliminaprofe arregla la ficha numero 15 cuando puedas porfa gracias ...por cierto 2-1 jaja (Y)
ResponEliminaProfeeee dónde están los ejercicios del 40 en adelante? XD
ResponElimina