UNITAT 1. ELS NOMBRES REALS
Els nombres reals són tot el conjunt de nombres que coneguem, està format pels: naturals, enters, racionals; i irracionals.
1.1. ELS NOMBRES RACIONALS
Els nombres racionals són tots aquells nombres naturals, enters i fraccionaris (decimals) que són finits o tenen un període. Amb els nombres enters és molt fàcil treballar, però quan tenim un decimal periòdic ens resulta més difícil, ja que té un periode que es repeteix continuament. Per aquesta raó necessitem passar aquests nombres a forma fraccionària, així tindrem el nombre acotat en una fracció sense la necessitat de marcar ni posar ningún període.
Passar de decimal a fracció (en aquest vídeo està tant l´exacte, com el periòdic pur i mixte)
1.2. APROXIMACIÓ I ERROR
Quan treballem amb nombres que tenen un nombre molt alt de nombres decimals tenim que realitzar aproximacions, de manera que ens resulte molt més fàcil treballar amb aquests nombres. Aquesta aproximació la podem fer tant per truncament com per arrodoniment. Però, una vegada ja hem aproximat incurrim en un error, que tenim que calcular per a poder saber la desviació existent entre el valor real i el valor aproximat. Aquest error el podem calcular tant en termes absoluts com en termes relatius.
Un interval és un conjunt de nombres que representem a la recta real. Trobem tres tipus d'intervals: obert, tancat i semiobert.
Per contra, una semirecta és el conjunt de nombres entre un valor donat i l'infinit. Trobem dos tipus: obert i tanca
1.4. Potències. Definició i propietats.
Podem expresar qualsevol multiplicació de factors iguals com una potència, on la base és el factor multiplicat i l'exponent el nombre de vegades que el multiplicarem.
Les propietats de les potències les utilitzarem per a realitzar operacions amb potències:
1.5. Radicals. Definició i propietats
Extracció de factors de dintre d´una arrel.
Una arrel i una potència d´exponent fraccionari són el mateix. Com hem vist a classe qualsevol arrel la podem transformar en una potència d´exponent fraccionari, i qualsevol potència d´exponenet fraccionari la podem transformar en una arrel.
Sempre que l´exponent del nombre que hi ha dintre de l´arrel siga igual o superior al índex de la mateixa arrel podrem traure factors de dintre. D´aquesta manera simplificarem les arrels i podrem utilitzar aquesta tècnica per a la suma i resta d´arrels.
Suma i resta de radicals
Sols podem sumar i restar radicals amb el mateix índex i el mateix radicand. Per aquesta raó, treballarem amb factors primers (2, 3, 5, 7, ...), de manera que si tenim un nombre compost com a radicand el tindrem que descomposar, extraient factors de dintre per a poder realitzar les sumes i restes corresponents.
Suma i resta de radicals
Sols podem sumar i restar radicals amb el mateix índex i el mateix radicand. Per aquesta raó, treballarem amb factors primers (2, 3, 5, 7, ...), de manera que si tenim un nombre compost com a radicand el tindrem que descomposar, extraient factors de dintre per a poder realitzar les sumes i restes corresponents.
Operacions amb arrels
Multiplicació i divisió d´arrels
Potència d´una arrel i Arrel d´una arrel
Racionalització de radicals
Racionalitzem radicals per tal d'eliminar les arrels que tingam al denoominador, de tal manera que ens permeta tenir un denominador comú sense radicals.
Al següent link teniu la fitxa d´activitats per al dilluns
UNITAT 2. ELS POLINOMIS
Els polinomis són la base de l´àlgebra, per això és necessària una correcta comprensió dels mateixos. En aquesta unitat treballarem operacions amb polinomis i fraccions algebràiques, a més introduirem la divisió pel mètode de Ruffini.
2.1. Els Polinomis
Un polinomi està format per monomis de diferent grau, de manera que no podam simplificar més les expressions que el componen. Per tant, abans que res tenim que conèixer el significat de monomi i quins són els elements que el formen, entre els que destaca el grau del monomi i polinomi.
Per un altra banda, un polinomi és una expressió composada per monomis que tenen incògnites. Si nosaltres sabem el valor d´aquestes incògnites podrem obtenir el valor numèric del polinomi. ÉS a dir, tindrem una solució del polinomi.
2.2. Operacions amb Polinomis
La suma, multiplicació i divisió de polinomis ens ajudarà a resoldre equacions en la pròxima unitat, de manera que podam diferenciar les incògnites dels nombres i podem aïllar aquestes per a resoldre-les.
SUMA I RESTA DE POLINOMIS
Podem sumar i restar polinomis per mitjà de la suma i resta de monomis semblants, és a dir, per mitjà de la suma de monomis que tenen la mateixa part literal i el mateix grau. Per tant, agruparem per monomis semblants i sumarem o restarem segons calga.
MULTIPLICACIÓ DE POLINOMIS
A diferència de la suma i resta de polinomis, podem multiplicar tots els monomis, encara que no siguen semblants. De manera que quan tingam dos polinomis multiplicarem tots els monomis del primer polinomi per tots els monomis del segon polinomi.
IDENTITATS NOTABLES
Les identitats notables són multiplicacions de dos binomis iguals, o de suma per diferència. Els podem desenvolupar fent una multiplicació corrent o aprenent la fòrmula treballada a classe.
Després de treballar les altres operacions bàsiques (suma, resta i multiplicació) ara treballarem la divisió. Aquesta és pot realitzar per mitjà del mètode clàssic o per mitjà del mètode de Ruffini, sempre que tingam una divisió d´un polinomi qualsevol entre un binomi.
- Mètode de Ruffini
Les identitats notables són multiplicacions de dos binomis iguals, o de suma per diferència. Els podem desenvolupar fent una multiplicació corrent o aprenent la fòrmula treballada a classe.
2.4. DIVISIÓ DE POLINOMIS
Després de treballar les altres operacions bàsiques (suma, resta i multiplicació) ara treballarem la divisió. Aquesta és pot realitzar per mitjà del mètode clàssic o per mitjà del mètode de Ruffini, sempre que tingam una divisió d´un polinomi qualsevol entre un binomi.
- Mètode de Ruffini
- Mètode General
2.5. FACTORITZACIÓ DE POLINOMIS
Factoritzar un polinomi és expressar aquest en el producte de polinomis més petits, per mitjà d´obtindre les seves arrels amb el mètode de Ruffini, factor comú o resolució d´equacions de 2º grau.
2.6. OPERACIONS AMB FRACCIONS ALGEBRÀIQUES
SIMPLIFICACIÓ DE FRACCIONS ALGEBRÀIQUES
Tot el treballat anteriorment, en els apartats anteriors, ens servirà per a poder simplifcar fraccions de manera que podam expressar una fracció algebràica de la manera més reduïda posssible. Visualitzeu el següent vídeo que us ajudarà en la realització dels exercicis.
MULTIPLICACIÓ I DIVISIÓ DE FRACCIONS ALGEBRÀIQUES
Aplicant els continguts treballats al principi de la unitat podrem realitzar aquests dos tipus d'operacions. Multipliquem en línia recta i dividim multiplicant en creu.
SUMES I RESTES DE FRACCIONS ALGEBRÀIQUES
Per a poder sumar i restar fraccions tenim que tenir en compte que totes les fraccions tindran el mateix denominador. D´aquesta manera nosaltres buscarem el mcm amb incògnites per a poder sumar i restar fraccions algebràiques.
FITXA REPÀS UNITAT 2. POLINOMIS
Aquí us deixo la fitxa de repàs de la unitat. NO hi ha que fer-la encara, ja vos diré per a quin dia la teniu que fer. OK????
UNITAT 3. EQUACIONS
Després d´haver treballat els polinomis ens toca introduir-nos més a dintre a l´àlgebra. Dintre d'aquesta unitat anem a aprendre a resoldre diferents tipus d'equacions de primer, segon, tercer, ..., i equacions quadràtiques, de manera que podam obtindre la solució o solucions, ja siga en un exercici concret o plantejant un problema i resolent-lo. Una vegada compresa la resolució d'equacions treballarem la resolució d´equacions amb dos incògnites (sistemes d´equacions)
Equacions Biquadrades
Les equacions biquadrades es resolen de la mateixa manera que les de segon grau, però realitzant un canvi de variable anterior. De manera que tindrem 4, 2 o 0 solucions.
Fitxa activitats de repàs Unitat 3
Fitxa Unitat 3. Equacions
4.6. Problemes amb sistemes d'equacions
2) La funció lineal
3) Funció afí
FITXA REPÀS UNITAT 6
Exercicis Unitat 6
3.1. EQUACIONS DE PRIMER GRAU
A l´hora de resoldre equacions seguirem els pasos que ja coneguem d´anys anteriors. Primer eliminem parèntesis i denominadors; després transposem termes i simplifiquem; i per últim resolem l'equació.
3.2. EQUACIONS DE SEGON GRAU
Les equacions de segon grau es diferèncien en dos tipus: completes i incompletes. Segons el tipus que sigui la podrem resoldre d´una manera o d´un altra. Per una banda trobem les completes, que són aquelles que podrem resoldre per mitjà de la fòrmula.
Recordeu que segons el signe del nombre que surta dintre de l´arrel l´equació tindrà dues, una o ninguna solució.
Per l´altra banda trobem les equacions incompletes, aquestes tenen la peculiaritat de tenir la "b" o la "c" iguals a 0, és a dir, no existeixen. Cadascuna d´aquestes és resol d´una manera diferent, per mitjà del factor comú o de l´aïllament i l´arrel quadrada.
Falta "b"
Falta "c"
3.3. EQUACIONS DE GRAU 3 O SUPERIOR SENSE TERME INDEPENDENT
Aquests equacions es resolen de la mateixa manera que quan tenim una equació de segon grau on falta "c". El primer que farem serà traure factor comú (x, x2, ...). Després l´x o X2, ... a 0 per a obtenir una solució, i l´altra solució l´obtindrem d´igualar el que quede dintre del parèntesi a 0, tenint que solucionar una equació de primer o segon grau.
3.4. EQUACIONS FACTORITZADES I BIQUADRADES
Equacions Factoritzades
Les equacions factoritzades són aquelles que estan expresades en el producte de diferents binomis o trinomis, de manera que les podem solucionar igualant cada binomi o trinomi (parèntesi) a 0. Resoldrem cada parèntesi com una equació diferent, com equacions de primer i segon grau, i obtindrem les solucions de la manera més fàcil possible.
Equacions BiquadradesLes equacions biquadrades es resolen de la mateixa manera que les de segon grau, però realitzant un canvi de variable anterior. De manera que tindrem 4, 2 o 0 solucions.
3.6. EQUACIONS IRRACIONALS
Aquestes equacions són les que tenen com a mínim una x dintre d´una arrel quadrada. L'única manera que hi ha de solucionar-les és eliminant l'arrel de l'equació, i això és farà elevant les dues parts de l'igual a dos.
3.5. PROBLEMES D´EQUACIONS
Com ja hem vist a classe farem problemes de nombres, d'edats, de mescles, ..., de manera que podam representar en una equació de primer o segon grau un enunciat.
La clau per a poder plantejar els problemes és una bona lectura del enunciat, ja que en el redactat està tot el necessari per a poder escriure l'equació. A més, recordeu que sols tindrem una incògnita, "x", i si el problema ens demana més d'una les restants les traurem a partir de la primera.
Problemes d'edats
De nombres
De compres
Caps i potes
De segon grau
Fitxa activitats de repàs Unitat 3
Fitxa Unitat 3. Equacions
UNITAT 4. SISTEMES D'EQUACIONS I INEQUACIONS
4.1. Tipus de sistemes d'equacions.
Podem classificar els sistemes d'equacions segons el nombre de solucions que podem trobar al sistema. D'aquesta manera la classificació que es pot fer diferència tres tipus de sistemes d'equacions:
1) SISTEMA COMPATIBLE DETERMINAT (SCD). Són aquells sistemes que tenen una única solució per a cada incògnita, en el nostre cas (x, y). Els reconeguem perquè els seus coeficients no són proporcionals.
2) SISTEMA COMPATIBLE INDETERMINAT (SCI). Són aquells sistemes que tenen infinites solucions, degut a que una de les seues equacions és proporcional a l'altra. Els reconeguem perquè els seus coeficients i termes independents són proporcionals.
3)SISTEMA INCOMPATIBLE (SI). Són aquells sistemes que no tenen solució. Els reconeguem perquè els seus coeficients són proporcionals, però els seus termes independents no ho són.
Amb aquesta classificació podem saber el nombre de solucions de qualsevol sistema sense tenir que resoldre´l.
4.2. Mètode de substitució.
El mètode de substitució ens permet resoldre el sistema aïllant una incògnita en una de les dues equacions, la que sigui més fàcil d'aïlla (sempre intentem aïllar la que no tingui ningun nombre multiplicant o dividint) i substituint en l'altra equació. D'aquesta manera tindrem una única equació amb una sola incògnita, que podrem resoldre de manera simple. Una vegada obtingut el resultat d'aquesta incògnita tenim que substituir aquest valor per l'altra incògnita i tindrem els valors de les incògnites del sistema.
4.3. Mètode d'igualació.
El mètode d'igualació ens permet resoldre el sistema aïllant la mateixa incògnita en les dues equacions, la que sigui més fàcil d'aïlla (sempre intentem aïllar la que no tingui ningun nombre multiplicant o dividint) i igualar-les, ja que les incògnites tenen el mateix valor en les dues equacions. D'aquesta manera tindrem una única equació amb una sola incògnita, que podrem resoldre de manera simple. Una vegada obtingut el resultat d'aquesta incògnita tenim que substituir aquest valor per l'altra incògnita i tindrem els valors de les incògnites del sistema.
4.4. Mètode de reducció.
El mètode de reducció permet crear una equació d'una sola incògnita a partir de les dues equacions que tenim. Sols tenim que elegir quina incògnita volem fer desaparèixer i aconseguir tenir els mateixos coeficients, però amb diferent signe, a cada equació. D'aquesta manera tindrem una equació amb una sola incògnita que podrem resoldre fàcilment.
4.5. Sistemes no Lineals
Aquests sistemes són els que tenen les incògnites multiplicades entre elles mateixa, alguna o les dues incògnites al quadrat, ..., per a resoldre'ls utilitzarem el mètode que millor s'adapte al sistema. Normalment tindreu que utilitzar el mètode de substitució o d'igualació, i quan les dues equacions tinguen les dues incògnites al quadrat podreu utilitzar el mètode de reducció.
4.6. Problemes amb sistemes d'equacions
De la mateixa manera que succeïa quan fèiem problemes amb equacions quan treballem amb sistemes d'equacions podem trobar molts tipus de problemes. El més important a l'hora de resoldre'ls és llegir el problema totes les vegades que siga necessari fins a entendre'l i tenir clar com són les equacions del sistema. Aquí us deixe uns exemples.
4.7. Inequacions
Les inequacions són equacions en les que el resultat de l'incògnita no és un sol nombre, sinó que representa un conjunt de solucions. les solucions les representarem a la recta real, on podrem apreciar quines són aquestes. Aquí teniu un vídeo amb exemples diversos.
FITXA REPÀS UNITAT 4
Ja podeu començar a fer-la, però hi ha exercicis que no hem treballat encara a classe, al llarg de la setmana els treballarem per al dia de la correcció.
Exercicis Unitat 4
UNITAT 5. TRIGONOMETRIA
5.1. Semblaça entre triangles. Teorema de Pitàgores
Dos triangles són semblants si tenen tots els seus angles iguals, a més si dos triangles són semblants els seus costats són proporcinals. Per tant, quan dos triangles són semblants els seus costats acompleixen el teorema de Tales, que diu: que els costats de triangles semblants són proporcionals dos a dos.
D'altra banda trobem el teorema de PITÀGORES. Pitàgores va demostrar que en un triangle rectangle s'acompleix que: la hipotenusa (el costat més llarg) al quadrat, és igual a la suma dels catets al quadrat. De manera que si coneguem dos costats podem obtenir l'altre per mitjà d'aquest teorema.
5.2. RAONS TRIGONOMÈTRIQUES
Tots els triangles rectangles tenen tres raons trigonomètriques que ens ajuden a conèixer un costat, si no el sabem o quant mesura un angle. Conèixer aquestes és imprescindible per a poder compendre els continguts que veurem al llarg del tema. Aquestes raons trigonomètriques són el sinus, cosinus i la tangent dels angles aguts del triangle rectangle, les podem conèixer per mitjà del quocient dels catets i la hipotenusa del triangle.
Aquestes raons trigonomètriques estan relacionades entre si per mitjà de les relacions entre les raons trigonomètriques, de manera que sense conèixer els costats del triangle i coneguent una sola raó podem conèixer les altres dos raons d'un angle qualsevol.
Tangent = sin/cos
1+Tang(a la 2)=1/cos(a la 2)
sin(a la 2)+cos (a la 2)=1
Aquestes tres equacions vos seran de molta utilitat a l´hora de resoldre triangles on sols conegueu una raó trigonomètrica.
5.3. Raons trigonomètriques de 30º, 45º i 60º
És important conèixer les raons trigonomètriques dels angles comuns, de manera que ens faciliten els càlculs i la rapidesa amb que podem realitzar exercicis amb aquests tipus d'angles. Aquí baix us facilite una web on trobareu els valors d'aquestes raons
5.4. Resolució de triangles rectangles.
Coneguent dos elements d'un triangle rectangle podem obtenir la resta de costats i d'angles del mateix per mitjà del teorema de Pitàgores i de les Raons Trigonomètriques bàsiques. D'aquesta manera podrem tindre tres tipus de triangles a resoldre:
1) coneguem un catet i un angle.
Obtindrem per mitjà de les raons trigonomètriques els dos costats; o un costat i l'altre per el teorema de pitàgores. L'angle que falta l'obtindrem per la resta d'angles.
2) Coneguem la hipotenusa i un angle.
Obtindrem per mitjà de les raons trigonomètriques els dos costats; o un costat i l'altre per el teorema de pitàgores. L'angle que falta l'obtindrem per la resta d'angles.
3) Coneguem dos costats
Per mitjà de Pitàgores obtenim el costat que falta i amb la inversa, de la calculadora, obtenim els angles aguts.
5.5. Resolució de Problemes
Tot el que hem estat treballant i practicant fins ara ho aplicarem a l'hora de resoldre problemes amb triangles. Per tant, teniu que conèixer quina raó trigonomètrica és la que necessitem en cada cas per a obtindre el costat o costas corresponents; o en el seu cas la mesura d'un angle qualsevol.
Aquí us deixo un parell d'exemples d'exercicis com els que fem a classe.
FITXA REPÀS UNITAT 5
UNITAT 6. FUNCIONS
6.1. DEFINICIÓ DE FUNCIÓ
Una funció és la relació entre dues magnituds, en la que existeix una variable independent (x) i una variable dependent (y). Sols existirà la funció si per a cada valor de la variable independent sols existeix un valor de la variable dependent.
Per a obtenir els valors d'una funció i poder representar-la donarem valors a la variable independent X, per a obtenir els valors de la variable dependent.
6.2. CARACTERÍSTIQUES DE LES FUNCIONS
Analizar funcions és una part de l'estudi que es realitza d'aquestes. Estudiant el seu domini, rang, creixement i extrems s'obté informació molt rellevant.
La continuïtat és un altra característica important de les funcions, direm que una funció serà contínua si la podem dibuixar sense aixecar el llapis del paper. Si no és així, tindrem que marcar els punts de discontinuïtat de la funció.
6.3. TAXA DE VARIACIÓ MITJANA D'UNA FUNCIÓ
La taxa de variació mitjana d'una funció indica el canvi que experimenta la variable dependent, Y, per cada unitat de variació de la variable independent, X.
La taxa de variació mitjana d'una funció indica el canvi que experimenta la variable dependent, Y, per cada unitat de variació de la variable independent, X.
6.4. TIPUS DE FUNCIONS LINEALS
Hi ha tres tipus de funcions lineals:
1) funció constant
La funció constant és una recta paral·lela a l'eix d'abscisses, X, que té per expressió algebràica: y=n
2) La funció lineal
La funció lineal és una recta que té pendent possitiu o negatiu en funció del signe que tinga el nombre que multiplica la variable independent X
Passa pel punt (0,0)
La seua expressió algebràica és: y=mx; on m és el pendent de la recta.
Si volem obtenir la seua expressió algebràica a partir de la taula de valors o del gràfic: m=y/x. En aquest tipus de funció sols necessitem un punt.
3) Funció afí
La funció lineal és una recta que té pendent possitiu o negatiu en funció del signe que tinga el nombre que multiplica la variable independent X, més un nombre fixe, n.
Passa pel punt (0,n)
La seua expressió algebràica és: y=mx+n; on m és el pendent de la recta i n és l'ordenada en l'origen.
Si volem obtenir la seua expressió algebràica a partir de la taula de valors o del gràfic: m=y1-y0/x1-x0 (necessitem dos punts: un el (0,n) i l'altre el que vuigau).
6.5. ALTRES TIPUS DE FUNCIONS
Funció quadràtica
La funció quadràtica ve donada per l'expressió de l'equació de segon grau i és una paràbol·la. Per a representar-la devem calcular: el vèrtex, punts de tall i una sèrie de valors; posteriorment traslladarem els punts al gràfic per a fer la representació.
Exercicis Unitat 6
